工程問題是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的經(jīng)典題型之一，研究工作總量、工作時(shí)間、工作效率三者之間關(guān)系的問題，解答工程問題時(shí)，往往以工作總量一定作為解題的突破口，常用的方法有：方程法、特值法、比例法。

一、基本公式

工作總量=工作效率×工作時(shí)間;

工作效率=工作總量÷工作時(shí)間;

工作時(shí)間=工作總量÷工作效率。

二、�？碱}型

1、普通工程

普通工程問題是工程問題中最基本的考查形式，只是簡單利用基本公式以及正反比進(jìn)行求解。

【例題】建筑隊(duì)計(jì)劃150天建好大樓，按此效率工作30天后由于購買新型設(shè)備，工作效率提高20%，則大樓可以提前幾天完工?

A.20 B.25 C.30 D.45

【解析】A。工作效率提高20%，原效率與現(xiàn)在效率之比為5∶6，由于工作總量一定，所用時(shí)間為效率的反比，即6∶5。剩下的工作原定150-30=120天完成，效率改變后只需要100天即可完成。因此節(jié)省20天，選A。

2、多者合作

多者合作可能是兩者合作或兩者以上合作完工，關(guān)鍵點(diǎn)是合作的總效率等于各效率之和。

【例題】一項(xiàng)工程如果交給甲乙兩隊(duì)共同施工，8天能完成;如果交給甲丙兩隊(duì)共同施工，10天能完成;如果交給甲丁兩隊(duì)共同施工，15天能完成;如果交給乙丙丁三隊(duì)共同施工，6天就可以完成。如果甲隊(duì)獨(dú)立施工，需要多少天完成?

A.16 B.20 C.24 D.28

【解析】C。設(shè)工作總量為120(8、10、15、6的最小公倍數(shù))，則

所以，甲隊(duì)獨(dú)立施工時(shí)需要的天數(shù)=120÷5=24(天)。答案選C。

3、交替合作

交替合作中又可以分為兩種情況，一種是出現(xiàn)的都是正效率，另一種是既有正效率也有負(fù)效率。無論哪種情況，關(guān)鍵點(diǎn)都是找出最小的循環(huán)周期及一個(gè)循環(huán)周期的效率和。

【例題】一條隧道，甲單獨(dú)挖要20天完成，乙單獨(dú)挖要10天完成。如果乙先挖1天，然后甲接替乙挖1天，再由乙接替甲挖1天……兩人如此交替工作。那么，挖完這條隧道共用多少天?

A.13 B. 13.5 C. 14 D. 15.5

【解析】A。設(shè)工作總量為20(20、10的最小公倍數(shù))，則甲、乙的效率分別為1、2。

這里的循環(huán)周期為2天(乙、甲各1天)，一個(gè)循環(huán)周期的效率和為3，20÷3=6…2，這里的6即為6個(gè)循環(huán)周期，對應(yīng)12天，剩余的2個(gè)工作量，乙做一天正好完成。所以，共需12+1=13天，選A。

【例題】一個(gè)小池有甲乙兩個(gè)進(jìn)水管，一個(gè)丙出水管，單開甲管6小時(shí)注滿;單開乙管5小時(shí)注滿;單開丙管3小時(shí)放完;水池原來是空的，如果按甲乙丙的循環(huán)輪流開放三個(gè)水管，每輪中各水管均開放1小時(shí)，那么經(jīng)過多少小時(shí)后水池中的水注滿?

A.59 B.60 C.79 D.90

【解析】設(shè)工作總量為30(6、5、3的最小公倍數(shù))，從而易知，甲、乙、丙的效率分別為5、6、—10(實(shí)際情況是有進(jìn)有出，進(jìn)就是指正效率，出就是指負(fù)效率)，一個(gè)循環(huán)周期的時(shí)間為3個(gè)小時(shí)(甲、乙、丙各1小時(shí))，一個(gè)循環(huán)周期的效率和為1。預(yù)留周期峰值后，(30-11)÷1=19，即19次循環(huán)后，還剩11個(gè)工作量沒完成，接下來正好甲、乙各1個(gè)小時(shí)，正好注滿。19個(gè)循環(huán)周期，對應(yīng)19×3=57小時(shí)，所以共需時(shí)間=57+1+1=59(小時(shí))，選A。

工程問題一般采用特值法解題。特值法有2種應(yīng)用情況，第一種是題干中已知每個(gè)人完成工作的時(shí)間，這時(shí)我們假設(shè)工作量為工作時(shí)間的最小公倍數(shù)，進(jìn)而得到每個(gè)人的工作效率;第二種是題干中已知的是每個(gè)人工作效率之比，這時(shí)我們通過直接設(shè)效率為比例量進(jìn)行快速求解。以上講解希望能夠幫到各位備考的同學(xué)。